ปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับไวน์ 16 ขวดจากปีที่แตกต่างกันได้ดึงดูดความสนใจของผู้ที่ชื่นชอบปริศนาทางออนไลน์ ความท้าทายนี้ต้องการการระบุขวดไวน์ทั้งหมดโดยใช้การวัดเพียง 50 ครั้งหรือน้อยกว่า โดยแต่ละอุปกรณ์วัดจะแสดงข้อมูลแบบไบนารีเกี่ยวกับปีของไวน์
ปริศนานี้นำเสนอสถานการณ์ที่ผู้คนต้องระบุไวน์ 16 ขวด แต่ละขวดมาจากปี 0-15 โดยใช้อุปกรณ์วัด 4 เครื่องที่แสดงผลเป็น 0 หรือ 1 ในตอนแรกดูเหมือนเป็นไปไม่ได้เนื่องจากการระบุขวดแต่ละขวดจะต้องใช้การวัด 64 ครั้ง (4 การวัด × 16 ขวด) อย่างไรก็ตาม จุดสำคัญอยู่ที่การตระหนักว่าไวน์แต่ละขวดมาจากปีที่ไม่ซ้ำกัน
การเปรียบเทียบความซับซ้อนของปัญหา
- โดยไม่มีข้อจำกัดความไม่ซ้ำกัน: สถานะที่เป็นไปได้ 2^64 สถานะ
- โดยมีข้อจำกัดความไม่ซ้ำกัน: การเรียงสับเปลี่ยน 16! ≈ 2.09 × 10^13 แบบ
- วิธีแก้ปัญหาในกรณีที่ดีที่สุด: 12 การวัด
- วิธีแก้ปัญหาที่รับประกันได้: 49 การวัด
- จำนวนสูงสุดที่อนุญาต: 50 การวัด
วิธีการเรียงลำดับแบบไบนารีให้วิธีแก้ปัญหาที่งดงาม
สมาชิกในชุมชนได้ระบุอย่างรวดเร็วว่ากลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคล้ายกับอัลกอริทึมการเรียงลำดับแบบไบนารี โดยทำงานจากบิตที่มีนิยามมากที่สุดไปยังบิตที่มีนิยามน้อยที่สุด ผู้แสดงความเห็นคนหนึ่งอธิบายวิธีการนี้ในแง่ที่เข้าใจง่าย โดยแยกย่อยว่าอุปกรณ์ 3 แยกขวดออกเป็นกลุ่มสูง (ปี 8-15) และกลุ่มต่ำ (ปี 0-7)
วิธีแก้ปัญหาทำงานโดยการแบ่งขวดออกเป็นกลุ่มเล็กๆ อย่างเป็นระบบโดยใช้อุปกรณ์แต่ละเครื่อง อุปกรณ์ 3 สร้างสองกลุ่มๆ ละ 8 ขวด อุปกรณ์ 2 แบ่งกลุ่มเหล่านี้ต่อเป็นกลุ่มๆ ละ 4 ขวด อุปกรณ์ 1 สร้างคู่ และอุปกรณ์ 0 ระบุขวดแต่ละขวดภายในแต่ละคู่ ส่วนที่ฉลาดคือเมื่อคุณระบุขวดได้เพียงพอในกลุ่มใดๆ คุณสามารถอนุมานขวดที่เหลือได้โดยไม่ต้องวัดเพิ่มเติม
การวิเคราะห์กรณีเลวร้ายที่สุดแสดงให้เห็นว่า 49 การวัดเพียงพอ
การแยกย่อยทางคณิตศาสตร์เผยให้เห็นว่าทำไมวิธีการนี้จึงทำงานได้ภายในขีดจำกัด 50 การวัด ในสถานการณ์เลวร้ายที่สุด คุณต้องการ 15 การวัดด้วยอุปกรณ์ 3 ตามด้วย 14 การวัดด้วยอุปกรณ์ 2 (7 ครั้งต่อกลุ่ม) จากนั้น 12 การวัดด้วยอุปกรณ์ 1 (3 ครั้งต่อกลุ่มย่อย) และสุดท้าย 8 การวัดด้วยอุปกรณ์ 0 (1 ครั้งต่อคู่) รวมเป็น 49 การวัดพอดี ซึ่งต่ำกว่าเกณฑ์ที่กำหนด
ฉันพบว่าการวิเคราะห์ bits-of-entropy ยากที่จะติดตาม ดังนั้นนี่คือวิธีที่ฉันอธิบายวิธีแก้ปัญหาให้ภรรยาฟัง (ซึ่งเธอไม่ใช่โปรแกรมเมอร์)
ความเห็นนี้เน้นให้เห็นว่าปริศนาสามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องมีความรู้ทางเทคนิคเชิงลึก ทำให้เข้าถึงได้สำหรับผู้ชมในวงกว้างขึ้นในขณะที่ยังคงมีแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน
การแบ่งการวัด (กรณีเลวร้ายที่สุด)
- การวัดอุปกรณ์ 3: 15 ครั้ง (แยกเป็นกลุ่มละ 8)
- การวัดอุปกรณ์ 2: 14 ครั้ง (สร้างกลุ่มละ 4)
- การวัดอุปกรณ์ 1: 12 ครั้ง (สร้างเป็นคู่)
- การวัดอุปกรณ์ 0: 8 ครั้ง (ระบุรายบุคคล)
- รวม: 49 การวัด
ทฤษฎีสารสนเทศเผยให้เห็นข้อมูลเชิงลึกมากขึ้น
การอภิปรายยังได้สัมผัสกับแง่มุมทฤษฎีสารสนเทศของปริศนา แม้ว่าการวัดแต่ละครั้งจะดูเหมือนให้ข้อมูลเพียงหนึ่งบิต แต่การรวมกันบางอย่างสามารถมีค่ามากกว่าผลรวมของส่วนต่างๆ ในสถานการณ์ที่โชคดี เป็นไปได้ที่จะแก้ปริศนาด้วยการวัดเพียง 12 ครั้ง แม้ว่าจะมีการจัดเรียงที่เป็นไปได้มากกว่า 40,000 แบบ
ปริศนาแสดงให้เห็นว่าข้อจำกัดสามารถลดพื้นที่การค้นหาได้อย่างมาก หากไม่มีข้อจำกัดความไม่ซ้ำ (แต่ละปีปรากฏเพียงครั้งเดียว) ปัญหาจะต้องการการวัดมากกว่านี้อย่างมาก ข้อจำกัดนี้เปลี่ยนปัญหาจากการมีสถานะที่เป็นไปได้ 2^64 เป็นเพียง 16! การเรียงสับเปลี่ยน ทำให้วิธีแก้ปัญหาเป็นไปได้
การวิเคราะห์ของชุมชนเผยให้เห็นว่าแม้วิธีการแบ่งแยกและพิชิตจะรับประกันความสำเร็จ แต่อาจไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุด สมาชิกบางคนแนะนำว่าอัลกอริทึมแบบโลภที่มุ่งเน้นการเพิ่มสารสนเทศสูงสุดอาจทำงานได้ดีกว่าโดยเฉลี่ย แม้ว่าการกำหนดกลยุทธ์ที่ดีที่สุดอย่างแท้จริงยังคงเป็นคำถามที่เปิดอยู่สำหรับกรณีที่ใหญ่กว่า
อ้างอิง: Sixteen bottles of wine riddle