นักคณิตศาสตร์หลายศตวรรษมาได้หลงใหลในคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่แปลกประหลาด นั่นคือความสามารถในการเจาะรูในรูปทรงที่มีขนาดใหญ่พอที่จะให้สำเนาเดียวกันของรูปทรงนั้นผ่านไปได้ แนวคิดที่ขัดกับสัญชาตญาณนี้เรียกว่าคุณสมบัติของ Rupert ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีอยู่ในลูกบาศก์ รูปแปดหน้า และรูปทรงหลายหน้าเว้าอื่นๆ อีกมากมาย แต่จนกระทั่งสัปดาห์นี้ ยังไม่มีใครพิสูจน์ได้อย่างแน่ชัดว่ารูปทรงหลายหน้าเว้าใดขาดคุณสมบัติที่น่าทึ่งนี้
ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับลูกบาศก์ของ Prince Rupert :
- คำถามดั้งเดิม: ศตวรรษที่ 17 โดย Prince Rupert of the Rhine
- ขนาดการผ่านของลูกบาศก์: ประมาณ 1.06 เท่าของลูกบาศก์เดิม (ใหญ่กว่า 6%)
- คำตอบเชิงบวกครั้งแรก: John Wallis
- การค้นพบคำตอบที่เหมาะสมที่สุด: ประมาณ 100 ปีต่อมาโดย Pieter Nieuwland
Noperthedron ทำลายรูปแบบเดิม
นักวิจัย Jakob Steininger และ Sergey Yurkevich ได้ไขปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่ค้างคามานานนี้ในที่สุด โดยการค้นพบรูปทรงหลายหน้าเว้าที่ไม่สามารถเจาะรูผ่านมันให้ใหญ่พอที่ตัวมันเองจะผ่านไปได้อย่างแน่นอน ผลงานของพวกเขาที่เรียกอย่างขบขันว่า noperthedron มี 90 จุดยอด 240 ขอบ และ 152 หน้า ชื่อนี้ดูเหมือนจะเป็นการยกย่องผลงานก่อนหน้านี้ของนักวิจัย Tom7 ที่คิดคำว่า Nopert สำหรับรูปทรงที่สงสัยว่าขาดคุณสมบัติของ Rupert
รูปทรงหลายหน้าเว้า: รูปทรง 3 มิติที่หน้าทั้งหมดเป็นระนาบและรูปทรงนูนออกด้านนอก - ลองจินตนาการถึงการเป่าลูกโป่งภายในกรอบลวด
ข้อมูลจำเพาะของ Noperthedron:
- จุดยอด: 90
- ขอบ: 240
- หน้า: 152
- คุณสมบัติ: รูปทรงหลายหน้าแบบนูนชิ้นแรกที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีคุณสมบัติของ Rupert
การพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ต้องการการค้นหาขนาดใหญ่
การพิสูจน์ว่ารูปทรงหลายหน้านี้ขาดคุณสมบัติของ Rupert ต้องใช้วิธีการคำนวณแบบครบถ้วน นักวิจัยต้องตรวจสอบรูที่เป็นไปได้ 18 ล้านรูแบบต่างๆ สร้างใบรับรองการพิสูจน์ขนาด 2.5 GB ที่ใช้เวลา 30 ชั่วโมงในการตรวจสอบความถูกต้องด้วยซอฟต์แวร์ทางคณิتศาสตร์ วิธีการแบบ brute-force นี้แม้จะให้ผลแน่นอน แต่ก็นำเสนอความท้าทายที่น่าสนใจสำหรับระบบตรวจสอบทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ
ชุมชนคณิตศาสตร์กำลังหารือกันอยู่แล้วว่าจะทำให้การพิสูจน์นี้เป็นทางการในระบบอย่าง Lean ได้อย่างไร ซึ่งต้องการให้ทุกขั้นตอนได้รับการตรวจสอบอย่างเข้มงวด นักวิจัยคนหนึ่งกล่าวถึงความยากลำบากทางวิศวกรรมที่สำคัญในการประมวลผลเซลล์การคำนวณหลายล้านเซลล์ภายในทฤษฎีบทเป็นทางการเดียว แม้ว่าจะมีการพิจารณาวิธีการทางเลือกที่เกี่ยวข้องกับการตรวจสอบภายนอก
ข้อกำหนดการพิสูจน์เชิงคำนวณ:
- ช่องว่างที่ตรวจสอบ: 18 ล้านช่อง
- ขนาดใบรับรองการพิสูจน์: 2.5GB
- เวลาในการตรวจสอบ: 30 ชั่วโมง (โดยใช้ SageMath )
- วิธีการ: การค้นหาแบบครอบคลุมทั้งหมดด้วยคอมพิวเตอร์พร้อมการตรวจสอบทางคณิตศาสตร์
บริบททางประวัติศาสตร์และผลกระทบในอนาคต
คุณสมบัติของ Prince Rupert ได้ชื่อมาจากคำถามในศตวรรษที่ 17 ที่ Prince Rupert of the Rhine ตั้งขึ้น ซึ่งสงสัยว่าลูกบาศก์สามารถผ่านรูในลูกบาศก์อีกอันหนึ่งที่มีขนาดเท่ากันได้หรือไม่ คำตอบกลับกลายเป็นใช่ - น่าทึ่งมากที่ลูกบาศก์ที่มีด้านใหญ่กว่าประมาณ 6% สามารถพอดีผ่านรูที่วางตำแหน่งอย่างเหมาะสมในลูกบาศก์หน่วยได้
การค้นพบนี้เปิดเส้นทางใหม่สำหรับการวิจัยทางเรขาคณิต ในขณะที่ตัวอย่างปัจจุบันมี 152 หน้า นักคณิตศาสตร์อยากรู้ว่ารูปทรงหลายหน้าที่เรียบง่ายกว่าอาจขาดคุณสมบัติของ Rupert เช่นกัน การค้นพบนี้ยังเน้นย้ำให้เห็นว่าคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่ดูเหมือนเป็นสากลสามารถมีข้อยกเว้นที่น่าประหลาดใจได้ แม้ว่าข้อยกเว้นเหล่านั้นจะต้องใช้วิธีการคำนวณที่ซับซ้อนในการค้นพบ
ความก้าวหน้านี้เป็นตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ที่สัญชาตญาณทางเรขาคณิตแบบดั้งเดิมผสมผสานกับพลังการคำนวณขนาดใหญ่เพื่อแก้ปัญหาที่ทำให้นักวิจัยงงงวยมาหลายชั่วอายุคน
อ้างอิง: Rupert's Property