คณิตศาสตร์ในปัจจุบันอาจดูเป็นนามธรรมอย่างเหลือเชื่อ เต็มไปด้วยแนวคิดที่ไม่คล้ายคลึงกับการนับและการวัดแบบง่ายๆ ที่ให้กำเนิดสาขาวิชานี้เมื่อหลายพันปีก่อน การอภิปรายล่าสุดในชุมชนเทคโนโลยีได้จุดประกายการถกเถียงเกี่ยวกับวิธีที่คณิตศาสตร์พัฒนาจากการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติไปสู่วิชาการเชิงทฤษฎีขั้นสูงที่เรารู้จักในปัจจุบัน
การสนทนานี้เผยให้เห็นความตึงเครียดที่น่าสนใจระหว่างผู้ที่มองว่าคณิตศาสตร์เป็นนามธรรมโดยธรรมชาติตั้งแต่เริ่มต้น กับผู้อื่นที่โต้แย้งว่าความเป็นนามธรรมเป็นการพัฒนาที่เกิดขึ้นเมื่อไม่นานมานี้ การถกเถียงนี้สัมผัสกับคำถามพื้นฐานเกี่ยวกับธรรมชาติของความรู้ทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์กับโลกทางกายภาพ
รากฐานทางประวัติศาสตร์ของความเป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์
ตรงข้ามกับความเชื่อที่แพร่หลาย ความเป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่สิ่งใหม่โดยสิ้นเชิง เรขาคณิต กรีก โบราณ โดยเฉพาะ Elements ของ Euclid จากกว่า 2,000 ปีที่แล้ว เป็นนามธรรมขั้นสูงอยู่แล้ว Euclid นิยามจุดว่าเป็นสิ่งที่ไม่มีส่วนใดๆ และเส้นตรงว่าเป็นความยาวที่ไม่มีความกว้าง ซึ่งเป็นแนวคิดที่เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างขึ้นในโลกทางกายภาพ คำนิยามเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าแม้แต่นักคณิตศาสตร์โบราณก็ทำงานกับรูปแบบในอุดมคติมากกว่าวัตถุทางกายภาพ
อย่างไรก็ตาม ระดับของความเป็นนามธรรมที่เราเห็นในปัจจุบันแสดงถึงการเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญจากต้นกำเนิดเชิงปฏิบัติของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ยุคแรกเกิดขึ้นจากความต้องการในโลกแห่งความเป็นจริง: การนับปศุสัตว์ การวัดที่ดิน การทำนายการเปลี่ยนแปลงตามฤดูกาล และการสร้างโครงสร้าง การเปลี่ยนแปลงไปสู่ความเป็นนามธรรมขั้นสุดเร่งตัวขึ้นอย่างมากในศตวรรษที่ 19 และ 20
เหตุการณ์สำคัญทางประวัติศาสตร์ในการพัฒนาคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม
| ช่วงเวลา | การพัฒนา | ผลกระทบ |
|---|---|---|
| ~300 ปีก่อน ค.ศ. | Elements ของ Euclid | เรขาคณิตเชิงนามธรรมเป็นระบบแรกที่มีคำนิยามที่ไม่สามารถสร้างได้จริง |
| ปลายศตวรรษที่ 1600 | Leibniz ทำให้จำนวนลบเป็นที่นิยม | ก่อนหน้านี้นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มองว่า "ไร้สาระ" และ "เป็นเรื่องแต่งขึ้น" |
| ศตวรรษที่ 1800 | อนุกรมตรีโกณมิติของ Fourier | สร้างฟังก์ชันที่ท้าทายคำนิยามทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ |
| ปลายศตวรรษที่ 1800 | สัจพจน์ของ Peano | กำหนดจำนวนธรรมชาติผ่านกฎเหตุผลล้วนๆ โดยไม่อ้างอิงทางกายภาพ |
| ปลายศตวรรษที่ 1800 | ทฤษฎีเซตของ Cantor | แนะนำแนวคิดเรื่องขนาดที่แตกต่างกันของอนันต์ |
| ต้นศตวรรษที่ 1900 | ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ของ Zermelo | ทำให้รากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่เป็นระบบ |
วิวัฒนาการที่ขับเคลื่อนโดยวิกฤต
ชุมชนคณิตศาสตร์ไม่ได้เลือกความเป็นนามธรรมโดยสุ่ม แต่พวกเขาถูกบังคับให้ทำเช่นนั้นด้วยวิกฤตการณ์ทางคณิตศาสตร์หลายครั้งที่วิธีการที่ยอมรับกันล้มเหลว งานของ Joseph Fourier กับอนุกรมตรีโกณมิติ เป็นตัวอย่าง นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ท้าทายคำนิยามของสิ่งที่ถือว่าเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ วิกฤตการณ์เหล่านี้บังคับให้นักคณิตศาสตร์สร้างสาขาวิชาของพวกเขาขึ้นใหม่บนรากฐานที่มั่นคงและเป็นนามธรรมมากขึ้น
การพัฒนาทฤษฎีเซตโดย Georg Cantor และการสร้างสัจพจน์ของเลขคณิตโดย Giuseppe Peano แสดงถึงเหตุการณ์สำคัญในการเดินทางสู่ความเป็นนามธรรมนี้ สัจพจน์ของ Peano ช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถนิยามตัวเลขโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงวัตถุทางกายภาพใดๆ ตัวเลขกลายเป็นโครงสร้างเชิงตรรกะล้วนๆ ที่สร้างขึ้นจากกฎพื้นฐานเกี่ยวกับตัวสืบเนื่องและเซต
ทฤษฎีเซต: สาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับการรวบรวมวัตถุ ซึ่งเป็นรากฐานสำหรับแนวคิดทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่
สัจพจน์ Peano สำหรับจำนวนธรรมชาติ
กฎพื้นฐานห้าข้อที่กำหนดจำนวนธรรมชาติโดยไม่อ้างอิงถึงวัตถุทางกายภาพ:
- 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
- จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีตัวสืบเนื่อง
- จำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกันสองจำนวนไม่มีตัวสืบเนื่องเดียวกัน
- 0 ไม่ใช่ตัวสืบเนื่องของจำนวนธรรมชาติใดๆ
- หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์: หากคุณสมบัติใดคุณสมบัติหนึ่งเป็นจริงสำหรับ 0 และเมื่อใดก็ตามที่เป็นจริงสำหรับจำนวนหนึ่ง มันก็จะเป็นจริงสำหรับตัวสืบเนื่องของจำนวนนั้นด้วย แล้วคุณสมบัตินั้นจะเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด
ประโยชน์เชิงปฏิบัติของการคิดแบบนามธรรม
แม้ว่าคณิตศาสตร์นามธรรมอาจดูเหมือนขาดการเชื่อมโยงกับความเป็นจริง แต่มันมีจุดประสงค์ที่สำคัญ ความเป็นนามธรรมช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถระบุรูปแบบที่เหมือนกันในสาขาการศึกษาที่แตกต่างกัน ทำให้งานของพวกเขามีพลังและเป็นทั่วไปมากขึ้น ดังที่สมาชิกชุมชนคนหนึ่งกล่าวไว้ ความเป็นนามธรรมเหมือนกับ dependency inversion ในการเขียนโปรแกรม การทำงานกับหลักการทั่วไปมากกว่าตัวอย่างเฉพาะทำให้การใช้เหตุผลสามารถนำกลับมาใช้ได้มากขึ้นและมักจะชัดเจนกว่า
นักคณิตศาสตร์คือบุคคลที่สามารถหาความคล้ายคลึงระหว่างทฤษฎีบท นักคณิตศาสตร์ที่เก่งกว่าคือผู้ที่เห็นความคล้ายคลึงระหว่างการพิสูจน์ และนักคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดสามารถสังเกตความคล้ายคลึงระหว่างทฤษฎี
แนวทางนี้ได้พิสูจน์ความสำเร็จอย่างน่าทึ่ง แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนเป็นเพียงทฤษฎีล้วนๆ เมื่อพัฒนาขึ้นครั้งแรก มักพบการประยุกต์ใช้ที่ไม่คาดคิดหลังจากผ่านไปหลายปีหรือหลายทศวรรษ จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งครั้งหนึ่งถูกมองว่าเป็นจินตนาการ ปัจจุบันมีบทบาทสำคัญในวิศวกรรมไฟฟ้าและฟิสิกส์ควอนตัม
การถกเถียงที่ยังคงดำเนินอยู่เกี่ยวกับความเป็นจริงทางคณิตศาสตร์
การอภิปรายเผยให้เห็นความตึงเครียดทางปรัชญาที่ยังคงดำเนินอยู่เกี่ยวกับธรรมชาติของคณิตศาสตร์ บางคนโต้แย้งว่าคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับความจริงที่พิสูจน์ได้และควรถือว่าแตกต่างจากวิทยาศาสตร์เชิงทดลองโดยพื้นฐาน คนอื่นๆ ยืนยันว่าการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์คล้ายคลึงกับการสืบสวนทางวิทยาศาสตร์อย่างใกล้ชิด โดยนักคณิตศาสตร์ตั้งสมมติฐาน ทดสอบตัวอย่าง และค้นหารูปแบบเหมือนกับที่นักวิทยาศาสตร์ทำ
การถกเถียงนี้ขยายไปถึงวิธีการสอนและสื่อสารคณิตศาสตร์ ในขณะที่นักคณิตศาสตร์บางคนยอมรับความเป็นนามธรรมล้วนๆ คนอื่นๆ โต้แย้งว่าควรรักษาการเชื่อมโยงกับความเข้าใจที่เป็นสัญชาตญาณและทางกายภาพ ความท้าทายอยู่ที่การสร้างสมดุลระหว่างความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์กับการเข้าถึงได้และความเกี่ยวข้องเชิงปฏิบัติ
การสร้างสัจพจน์: กระบวนการนิยามระบบทางคณิตศาสตร์ผ่านชุดของสมมติฐานพื้นฐาน (สัจพจน์) ที่ผลลัพธ์อื่นๆ ทั้งหมดสามารถอนุมานได้อย่างมีเหตุผล
บทสรุป
คณิตศาสตร์ได้กลายเป็นนามธรรมมากขึ้นตามกาลเวลาจริงๆ แต่วิวัฒนาการนี้แสดงถึงการตอบสนองต่อทั้งวิกฤตการณ์ทางคณิตศาสตร์ภายในและความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นของสาขาวิชา แม้ว่าความเป็นนามธรรมนี้อาจทำให้คณิตศาสตร์ดูน่ากลัวสำหรับคนภายนอก แต่มันก็ทำให้สาขาวิชามีพลังและเป็นทั่วไปมากขึ้น การถกเถียงในชุมชนที่ยังคงดำเนินอยู่แสดงให้เห็นว่าการหาสมดุลที่เหมาะสมระหว่างความเข้มงวดแบบนามธรรมและความเข้าใจที่เป็นสัญชาตญาณยังคงเป็นความท้าทายที่ดำเนินอยู่สำหรับนักคณิตศาสตร์และนักการศึกษา
การเดินทางจากการนับวัวไปสู่การไตร่ตรองเซตอนันต์สะท้อนถึงความสามารถที่น่าทึ่งของมนุษยชาติในการสร้างเครื่องมือที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ เพื่อทำความเข้าใจรูปแบบและความสัมพันธ์ ว่าแนวโน้มสู่ความเป็นนามธรรมนี้จะดำเนินต่อไปหรือคณิตศาสตร์จะหาวิธีใหม่ในการเชื่อมโยงกลับสู่สัญชาตญาณทางกายภาพยังคงเป็นคำถามเปิดสำหรับนักคณิตศาสตร์รุ่นอนาคต