ข้อสมมติทางคณิตศาสตร์ที่มีมายาวนานเกี่ยวกับปมได้ถูกโค่นล้มหลังจากผ่านไปเกือบเก้าทศวรรษ นักวิจัยจาก University of Nebraska-Lincoln ได้ค้นพบตัวอย่างโต้แย้งแรกต่อข้อสันนิษฐานที่นักคณิตศาสตร์เชื่อมาตั้งแต่ปี 1937 - ว่าการรวมปมสองปมเข้าด้วยกันจะส่งผลให้เกิดความซับซ้อนเท่ากับผลรวมของส่วนประกอบแต่ละส่วน
ไทม์ไลน์และความสำคัญ:
- 1937: Wendt เสนอข้อสันนิษฐานการบวกเป็นครั้งแรก
- 1977: ข้อสันนิษฐานปรากฏในรายการปัญหาของ Gordon
- 2025: ตัวอย่างที่โต้แย้งครั้งแรกถูกค้นพบโดย Brittenham และ Hermiller
- ตอบคำถาม 1.69(B) จาก "Problems in low-dimensional topology" ของ Kirby
- แสดงถึงการล้มล้างสมมติฐานทางคณิตศาสตร์ที่มีมา 88 ปี
คุณสมบัติการบวกล้มเหลว
หัวใจของการค้นพบนี้อยู่ที่สิ่งที่เรียกว่าจำนวนการแก้ปม - โดยพื้นฐานแล้วคือจำนวนครั้งของการตัดและการเชื่อมต่อใหม่ที่ต้องใช้เพื่อเปลี่ยนปมใดๆ ให้กลายเป็นห่วงธรรมดา เป็นเวลา 88 ปี นักคณิตศาสตร์สันนิษฐานว่าตัวเลขนี้จะสามารถบวกได้เมื่อรวมปมเข้าด้วยกัน หากปมหนึ่งต้องใช้ 3 การเคลื่อนไหวในการแก้ปม และอีกปมหนึ่งต้องใช้ 3 การเคลื่อนไหว ปมที่รวมกันควรจะต้องใช้ 6 การเคลื่อนไหว
Mark Brittenham และ Susan Hermiller ได้ทำลายข้อสมมตินี้โดยการสร้างปมจากชิ้นส่วนสองชิ้นที่เป็นภาพสะท้อนกัน โดยแต่ละชิ้นต้องใช้ 3 การเคลื่อนไหวในการแก้ปม แต่แทนที่จะต้องใช้ 6 การเคลื่อนไหวตามที่คาดหวัง ปมที่ซับซ้อนของพวกเขากลับสามารถแก้ได้ในเพียง 5 การเคลื่อนไหว และอาจจะน้อยกว่านั้นด้วยซ้ำ
หมายเหตุ: การเคลื่อนไหวในการแก้ปมเกี่ยวข้องกับการตัดเส้นใยที่จุดตัดและเชื่อมต่อใหม่ในการกำหนดค่าตรงข้าม ซึ่งแตกต่างจากการดึงหรือจัดการปมอย่างง่ายๆ
รายละเอียดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ:
- ข้อสันนิษฐานเดิมถูกเสนอโดย Hilmar Wendt ในปี 1937
- ตัวอย่างที่หักล้างใช้โหนดสองแบบที่เป็นภาพสะท้อนกระจกของกันและกัน แต่ละโหนดมี unknotting number เท่ากับ 3
- โหนดที่รวมกันต้องใช้เพียง 5 การเคลื่อนไหวแทนที่จะเป็น 6 ตามที่คาดหวัง
- โหนดตัวอย่างมี 14 จุดตัด ขยายเป็น 20 ระหว่างการจัดการ
- งานวิจัยได้รับการเผยแพร่เป็น preprint บน arXiv.org (เอกสาร 2506.24088)
เหตุใดการค้นพบนี้จึงใช้เวลานานมาก
ชุมชนคณิตศาสตร์กำลังหึ่งกับคำถามว่าทำไมตัวอย่างโต้แย้งนี้จึงซ่อนอยู่มานาน บางคนแนะนำว่าลักษณะเฉพาะทางของทฤษฎีปมทำให้มีนักวิจัยน้อยกว่าที่กำลังค้นหาตัวอย่างโต้แย้งอย่างจริงจัง คนอื่นๆ ชี้ให้เห็นว่าการพิสูจน์ว่าปมสามารถแก้ได้ในจำนวนการเคลื่อนไหวที่กำหนดนั้นง่ายกว่าการพิสูจน์ว่านั่นคือจำนวนขั้นต่ำที่ต้องการมาก
พื้นที่ค้นหาสำหรับการค้นพบดังกล่าวมีขนาดใหญ่มาก ตัวอย่างของนักวิจัยเกี่ยวข้องกับปมที่มี 14 จุดตัดซึ่งขยายไปเป็น 20 จุดตัดระหว่างการจัดการ ทำให้เกิดลำดับการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้นับไม่ถ้วนให้สำรวจ
ผลกระทบในโลกแห่งความจริงนอกเหนือจากความอยากรู้อยากเห็นทางวิชาการ
นี่ไม่ใช่เพียงการมองจุดสะดือทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ทฤษฎีปมมีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในการทำความเข้าใจว่าโปรตีนพับ DNA อย่างไรและโครงสร้างโมเลกุลรักษาความเสถียรอย่างไร การค้นพบนี้ชี้ให้เห็นว่าความเข้าใจของเราเกี่ยวกับความซับซ้อนในระบบชีวภาพเหล่านี้อาจต้องการการปรับปรุง
นี่เป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจมาก ผลลัพธ์บอกว่าแนวคิดของเราเกี่ยวกับความซับซ้อนอาจมีปัญหา
การค้นพบนี้ยังปิดประตูต่อสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นแนวทางที่ตรงไปตรงมาในการคำนวณจำนวนการแก้ปมสำหรับปมที่ซับซ้อน - เพียงแค่บวกตัวเลขสำหรับส่วนประกอบของมัน
มองไปข้างหน้า
ความก้าวหน้านี้แสดงถึงมากกว่าการหักล้างความคิดเก่า มันเปิดคำถามใหม่เกี่ยวกับวิธีที่ความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ทำงานเมื่อโครงสร้างรวมกัน นักวิจัยได้แสดงให้เห็นว่าบางครั้งส่วนรวมสามารถง่ายกว่าผลรวมของส่วนประกอบได้จริง แม้ในโลกที่แม่นยำของคণิตศาสตร์
การค้นพบนี้เตือนเราว่าแม้ในสาขาที่มีการยอมรับกันดี ข้อสมมติพื้นฐานยังคงสามารถทำให้เราประหลาดใจได้ หลังจาก 88 ปีของการเชื่อในจำนวนการแก้ปมแบบบวก นักคณิตศาสตร์ตอนนี้เผชิญกับความท้าทายในการพัฒนาแนวทางใหม่เพื่อเข้าใจความซับซ้อนของปม
อ้างอิง: New Knot Theory Discovery Overturns Long-Held Mathematical Assumption