เป็นเวลาหลายทศวรรษที่ช่องว่างลึกลับได้ดำรงอยู่ระหว่างทฤษฎีกับการปฏิบัติในอัลกอริทึมพื้นฐานที่สุดของคอมพิวเตอร์ ขณะที่วิธีซิมเพล็กซ์ของ George Dantzig แก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดได้อย่างมีประสิทธิภาพมาตั้งแต่ปี 1947 แต่วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีกลับเตือนว่ามันอาจทำงานช้าอย่างยิ่งในสถานการณ์กรณีเลวร้ายที่สุด ตอนนี้นักวิจัยได้ปิดช่องว่างนี้ในที่สุด โดยให้การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งที่ผู้ปฏิบัติงานรู้มานานแล้ว
เงาทางทฤษฎีเหนือเครื่องมือทำงานในทางปฏิบัติ
อัลกอริทึมซิมเพล็กซ์ได้เป็นกระดูกสันหลังของการตัดสินใจด้านลอจิสติกส์มา 85 ปี ช่วยให้บริษัทต่างๆ จัดสรรทรัพยากร เพิ่มประสิทธิภาพห่วงโซ่อุปทาน และเพิ่มผลกำไรสูงสุดภายใต้ข้อจำกัดที่ซับซ้อน ตั้งแต่ผู้ผลิตเฟอร์นิเจอร์ที่กำหนดสัดส่วนการผลิตที่เหมาะสม ไปจนถึงนักยุทธศาสตร์ทางการทหารที่จัดสรรทรัพยากรในยามสงคราม วิธีนี้ได้มอบวิธีแก้ปัญหาในทางปฏิบัติอย่างสม่ำเสมอ กระนั้น นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ในปี 1972 ว่าเวลาทำงานของอัลกอริทึมอาจเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียลตามความซับซ้อนของปัญหาในสถานการณ์กรณีเลวร้ายที่สุด สร้างสิ่งที่ผู้ให้ความเห็นหนึ่งบรรยายว่าเป็นสถานที่แปลกระหว่าง LP และตัวแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบโกลบอลทั่วไป
ข้อจำกัดทางทฤษฎีนี้ไม่เคยเกิดขึ้นจริงในทางปฏิบัติ ทำให้ผู้เชี่ยวชาญสงสัย ดังที่นักวิจัยหนึ่งระบุไว้ มันทำงานเร็วมาโดยตลอด และไม่มีใครเคยเห็นมันทำงานไม่เร็ว การขาดการเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎีทางคณิตศาสตร์กับประสิทธิภาพในโลกแห่งความจริงกลายเป็นหนึ่งในปริศนาที่ยั่งยืนของการหาค่าเหมาะที่สุด ทำให้วิศวกรบางส่วนหลีกเลี่ยงวิธีนี้แม้จะมีผลงานที่พิสูจน์แล้ว
ประเภทของอัลกอริทึมหลักในการหาค่าเหมาะสม:
- Linear Programming (LP): ปัญหาที่ทั้งฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดเป็นเชิงเส้น
- Convex Programming: กลุ่มที่กว้างขึ้นซึ่งฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นแบบนูนและข้อจำกัดสร้างเซตนูน
- Global Optimization: การหาคำตอบที่ดีที่สุดโดยสมบูรณ์สำหรับปัญหาที่อาจมีจุดเหมาะสมเฉพาะที่หลายจุด
 |
|---|
| ตาชั่งเป็นสัญลักษณ์ของกระบวนการเพิ่มประสิทธิภาพที่ simplex algorithm อำนวยความสะดวกในการตัดสินใจด้านโลจิสติกส์ |
ความสุ่มช่วยแก้ปัญหา
ความก้าวหน้าครั้งสำคัญเริ่มต้นในปี 2001 เมื่อ Daniel Spielman และ Shang-Hua Teng นำเสนอแนวทางปฏิวัติ: การฉีดความสุ่มเข้าไปในกระบวนการ งานของพวกเขาแสดงให้เห็นว่าโดยการรบกวนปัญหาเพียงเล็กน้อย ประสิทธิภาพในกรณีเลวร้ายที่สุดของวิธีซิมเพล็กซ์ดีขึ้นอย่างมากจากเวลาเอกซ์โพเนนเชียลเป็นเวลาโพลิโนเมียล คิดเสียว่ามันเหมือนกับการนำทางในเขาวงกตที่ซับซ้อน ซึ่งแทนที่จะทำตามคำแนะนำที่อาจทำให้เข้าใจผิดในทุกๆ ทางแยก คุณก้าวเดินแบบสุ่มเป็นครั้งคราว ซึ่งช่วยป้องกันไม่ให้คุณติดอยู่ในทางตันได้อย่างน่าประหลาดใจ
ในขณะที่การทดลองในทางปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าปัญหาเหล่านี้ได้รับการแก้ไขในเวลาโพลิโนเมียลเสมอ ตอนนี้การโน้มน้าวผู้ที่ยึดติดกับข้อจำกัดทางทฤษฎีจึงง่ายขึ้น
ความก้าวหน้าเริ่มต้นนี้ แม้จะเป็นการปฏิวัติ แต่ยังคงมีพื้นที่สำหรับการปรับปรุงโดยมีเลขชี้กำลังโพลิโนเมียลสูงถึง 30 ตลอดสองทศวรรษที่ผ่านมา นักวิจัยได้ก้าวหน้าขึ้นทีละน้อย แต่ช่องว่างพื้นฐานระหว่างทฤษฎีกับการปฏิบัติยังคงอยู่
ระดับความซับซ้อนของเวลาในการทำงาน:
- เวลาแบบเลขชี้กำลัง (เช่น 2ⁿ): กลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถใช้งานได้จริงสำหรับปัญหาขนาดใหญ่
- เวลาแบบพหุนาม (เช่น n³⁰): สามารถจัดการกับปัญหาขนาดใหญ่ได้ แต่อาจยังคงช้าอยู่
- เวลาแบบเชิงเส้น (เช่น n): การปรับขนาดที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งขนาดของปัญหามีความสัมพันธ์โดยตรงกับเวลาในการแก้ปัญหา
ส่วนสุดท้ายตกเข้าที่
งานวิจัยใหม่นี้แสดงถึงสิ่งที่เพื่อนร่วมงานเรียกขานว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ ฉลาดหลักแหลม [และ] สวยงาม ซึ่งรวมแนวคิดก่อนหน้านี้เข้ากับนวัตกรรมทางเทคนิคที่แท้จริงอย่างชำนาญ นักวิจัยแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมของพวกเขาไม่สามารถทำงานได้เร็วกว่าค่าที่พวกเขาได้รับ ซึ่งหมายความว่าพวกเขาได้พบรุ่นที่เหมาะสมที่สุดของแนวทางนี้แล้ว ที่สำคัญกว่านั้น พวกเขาได้ให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์สำหรับคำอธิบายว่าทำไมเวลาทำงานแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่เคยกลัวกันมายาวนานจึงไม่เคยเกิดขึ้นในการใช้งานจริง
การยืนยันทางทฤษฎีนี้มีนัยในทางปฏิบัติสำหรับวิศวกรซอฟต์แวร์และนักคณิตศาสตร์ที่พึ่งพาเครื่องมือการหาค่าเหมาะที่สุด ผู้ให้ความเห็นหนึ่งระบุว่าในขณะที่วิศวกรซอฟต์แวร์ส่วนใหญ่เคยได้ยินเกี่ยวกับการโปรแกรมเชิงเส้น แต่มีน้อยคนมากที่เคยได้ยินเกี่ยวกับการโปรแกรมนูน ความก้าวหน้าครั้งนี้ช่วยเสริมรากฐานของเครื่องมือที่พวกเขาใช้ในแต่ละวันให้แข็งแกร่งขึ้น งานนี้ให้การสนับสนุนทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งขึ้นสำหรับสัญชาตญาณที่ชี้นำผู้ปฏิบัติงานมาหลายชั่วอายุคน
แนวหน้าของการหาค่าเหมาะที่สุด
แม้จะมีความก้าวหน้าที่สำคัญนี้ นักวิจัยยอมรับว่าเป้าหมายสูงสุดยังคงอยู่ห่างไกล ดาวเหนือ สำหรับสาขานี้ ดังที่นักวิจัยหนึ่งอธิบาย คือการบรรลุการปรับขนาดเชิงเส้น ซึ่งการแก้ปัญหาที่มีข้อจำกัดมากเป็นสองเท่าใช้เวลาเพียงสองเท่าแทนที่จะนานกว่ามาก วิธีการในปัจจุบัน แม้จะดีขึ้นอย่างมาก แต่ยังคงไม่ถึงอุดมคตินี้
ผลกระทบขยายไปไกลกว่าปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบดั้งเดิม ดังที่ผู้ให้ความเห็นหนึ่งสังเกต ความก้าวหน้าใดๆ ในวิธีการพื้นฐานเหล่านี้สามารถแปลตรงไปเป็นอัลกอริทึมการเรียนรู้ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับการฝึกสอน neural nets ชั้นเดียว การเชื่อมโยงนี้กับแมชชีนเลิร์นนิงเน้นยำว่าทำไมการวิจัยอัลกอริทึมพื้นฐานจึงยังคงสำคัญในยุคที่ถูกครอบงำด้วย AI ประยุกต์
การเดินทางจากการแก้ปัญหาสถิติที่มีชื่อเสียงโดยบังเอิญของ Dantzig ไปสู่ความก้าวหน้าทางทฤษฎีในวันนี้ แสดงให้เห็นว่าความต้องการในทางปฏิบัติขับเคลื่อนนวัตกรรมทางคณิตศาสตร์อย่างไร และการทำความเข้าใจทางคณิตศาสตร์ก็ตอบแทนด้วยการยืนยันความถูกต้องของเครื่องมือในทางปฏิบัติ แม้เราอาจยังไม่ถึงดาวเหนือของการหาค่าเหมาะที่สุด แต่เราได้เคลียร์เมฆบางก้อนที่บดบังมุมมองของเราแล้ว