นักคณิตศาสตร์ค้นพบความวุ่นวายแบบแฟร็กทัลในจำนวนเฉพาะ ก่อให้เกิดการถกเถียงในชุมชนเกี่ยวกับรูปแบบทางธรรมชาติ

เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่นักคณิตศาสตร์มองว่าจำนวนเฉพาะเป็นเสมือนองค์ประกอบพื้นฐานของคณิตศาสตร์ — อะตอมของโลกตัวเลขที่สามารถหารด้วยตัวเองและ 1 เท่านั้น การกระจายตัวที่ดูเหมือนสุ่มของพวกมันได้สร้างความฉงนให้กับจิตใจที่ปราดเปรื่องตั้งแต่ยุคลิดไปจนถึงรีมันน์ โดยที่สมมติฐานของรีมันน์อันโด่งดังยังคงไม่ได้รับการพิสูจน์ แม้จะมีรางวัลมูลค่า 1,000,000 ดอลลาร์สหรัฐ จาก Clay Mathematics Institute อย่างไรก็ตาม ความก้าวหน้าล่าสุดชี้ให้เห็นว่าอะตอมทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ อาจถูกควบคุมโดยรูปแบบความวุ่นวายแบบแฟร็กทัลที่คล้ายคลึงกับที่พบได้ทั่วทั้งธรรมชาติ ตั้งแต่บรอกโคลีโรมาเนสโกไปจนถึงระบบควอนตัม

บริบททางประวัติศาสตร์:

• 1859: Bernhard Riemann ตีพิมพ์สมมติฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันซีตา
• 1970s: Montgomery และ Dyson ค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างช่องว่างของจำนวนเฉพาะกับระดับพลังงานควอนตัม
• 2000: Clay Mathematics Institute เสนอเงินรางวัล 1,000,000 ดอลลาร์สหรัฐสำหรับการพิสูจน์สมมติฐาน Riemann
• 2023: Harper, Xu และ Soundararajan เชื่อมโยงสถิติของจำนวนเฉพาะกับการวัดแฟร็กทัลแบบสุ่ม

การเชื่อมโยงแบบแฟร็กทัลที่ตรึงจินตนาการของชุมชน

การอภิปรายในชุมชนคณิตศาสตร์ได้พุ่งเป้าไปที่รูปแบบภาพเป็นอย่างมากเมื่อพิจารณาโครงสร้างแบบแฟร็กทัลในจำนวนเฉพาะ ผู้แสดงความคิดเห็นตั้งข้อสังเกตถึงความคล้ายคลึงอันน่าทึ่งระหว่างภาพ可视化的ทางคณิตศาสตร์และแฟร็กทัลตามธรรมชาติ โดยเฉพาะบรอกโคลีโรมาเนสโก ซึ่งแสดงรูปแบบการซ้ำตัวเองที่คล้ายกันในระดับที่แตกต่างกัน ความคล้ายคลึงทางธรรมชาตินี้ช่วยทำให้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมจับต้องได้มากขึ้น

บรอกโคลีแบบแฟร็กทัลนี้ทำให้ฉันทึ่งมาก

การเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีคณิตศาสตร์และรูปแบบทางธรรมชาติเกิดการสะท้อนอย่างลึกซึ้งในหมู่ผู้อ่าน ชี้ให้เห็นว่าหลักการพื้นฐานเดียวกันนี้อาจควบคุมทั้งสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์และการเติบโตทางชีววิทยา ข้อเปรียบเทียบทางภาพนี้ทำให้งานวิจัยที่ซับซ้อนเข้าถึงได้ง่ายขึ้นสำหรับผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ ในขณะเดียวกันก็เน้นย้ำถึงธรรมชาติสากลของรูปแบบแฟร็กทัล

ทำความเข้าใจฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ผ่านการแสดงเลขฐาน

การอภิปรายในชุมชนเปิดเผยข้อมูลเชิงลึกที่น่าสนใจเกี่ยวกับว่าระบบเลขฐานต่างๆ ช่วยให้เห็นรูปแบบของจำนวนเฉพาะได้อย่างไร ผู้แสดงความคิดเห็นอธิบายว่าในขณะที่จำนวนเฉพาะเองนั้นไม่ขึ้นกับฐาน การตรวจสอบพวกมันผ่านฐานที่แตกต่างกันสามารถเผยให้เห็นความสม่ำเสมอบางอย่างได้ ตัวอย่างเช่น ในฐาน 6 จำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มากกว่า 3 จะลงท้ายด้วย 1 หรือ 5 ในขณะที่ในฐาน 4 พวกมันจะลงท้ายด้วย 1 หรือ 3 (ไม่นับจำนวนเฉพาะ 2)

คำอธิบายที่ให้ความกระจ่างมากที่สุดมาจากผู้แสดงความคิดเห็นที่ติดตามการเชื่อมโยงระหว่างการแสดงเลขฐานและฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ พวกเขาแสดงให้เห็นว่าการพิจารณาจำนวนเฉพาะ across ฐานที่แตกต่างกันนำไปสู่สูตรผลคูณของออยเลอร์ — รากฐานของฟังก์ชันซีตา โดยการแยกตัวเลขที่หารด้วยจำนวนเฉพาะเล็กๆ ออกไปอย่างเป็นระบบ across ระบบฐานที่แตกต่างกัน นักคณิตศาสตร์สามารถหาความหนาแน่นเชิงความน่าจะเป็นของจำนวนเฉพาะได้ ซึ่งจะลู่เข้าไปประมาณ 1/log(x) สำหรับตัวเลขขนาดใหญ่

แนวทางนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ไม่ใช่โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ตั้งขึ้นอย่างตามใจ แต่เกิดขึ้นตามธรรมชาติจากการพิจารณาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ across หลายฐานพร้อมกัน ฟังก์ชันนี้โดยพื้นฐานแล้วเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับตัวเลขใดที่รอดผ่านกระบวนการกรองแบบก้าวหน้านี้ across ตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด

รูปแบบจำนวนเฉพาะที่น่าสนใจในเลขฐานต่างๆ:

• เลขฐาน 6: จำนวนเฉพาะที่มากกว่า 3 จะลงท้ายด้วย 1 หรือ 5 เสมอ
• เลขฐาน 4: จำนวนเฉพาะที่มากกว่า 2 จะลงท้ายด้วย 1 หรือ 3 เสมอ
• เลขฐาน 30: มีเพียง 8 จาก 30 ตัวเลขท้ายที่เป็นไปได้ที่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะ (ตัวเลขที่หารด้วย 2, 3 หรือ 5 ไม่ลงตัว)

จากฟิสิกส์ควอนตัมสู่ทฤษฎีจำนวนเฉพาะ

ชุมชนตั้งข้อสังเกตด้วยความสนใจว่าฟิสิกส์มีส่วนช่วยทฤษฎีจำนวนอย่างไม่คาดคิดอย่างไร การเชื่อมโยงดั้งเดิมย้อนกลับไปในทศวรรษ 1970 เมื่อนักฟิสิกส์ Freeman Dyson ตระหนักว่างานของนักคณิตศาสตร์ Hugh Montgomery เกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะตรงกับรูปแบบที่ Dyson กำลังศึกษาในระบบควอนตัม สิ่งนี้สร้างสะพานที่คาดไม่ถึงระหว่างทฤษฎีจำนวนและฟิสิกส์ควอนตัมซึ่งยังคงให้ผลลัพธ์ต่อเนื่องมาจนถึงปัจจุบัน

งานล่าสุดโดยนักคณิตศาสตร์เช่น Adam Harper, Max Wenqiang Xu และ Kannan Soundararajan ได้ขยายการเชื่อมโยงนี้ไปสู่ Gaussian multiplicative chaos — กรอบงานทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายความสุ่มที่มีความผันผวนสูงและไม่แปรเปลี่ยนตามสเกล ซึ่งพบในระบบปั่นป่วน, แรงโน้มถ่วงควอนตัม และตลาดการเงิน การวิจัยของพวกเขาแสดงให้เห็นว่าสถิติที่เกี่ยวข้องกับศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์สามารถถูกจับได้โดยมาตรวัดความสุ่มแบบแฟร็กทัลเดียวกันนี้

ความร่วมมือนี้ยังให้ผลลัพธ์เชิงปฏิบัติด้วย Xu และ Victor Wang ได้แสดงให้เห็นเมื่อไม่นานมานี้ว่าข้อสันนิษฐานของ Harper เกี่ยวกับการนับจำนวนเฉพาะที่มีประสิทธิภาพมากกว่าสมการทางประวัติศาสตร์ของรีมันน์ดูเหมือนจะถูกต้อง ถึงแม้การได้มาซึ่งผลลัพธ์ของพวกเขาจะอาศัยสัญชาตญาณทางฟิสิกส์ที่ยังไม่ได้พิสูจน์ก็ตาม ดังที่ Xu กล่าวไว้ โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่ใช่แฟนตัวยงของฟิสิกส์ แต่งานของฉันต้องพึ่งพาสัญชาตญาณของพวกเขา

แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่กล่าวถึง:

• ฟังก์ชัน Riemann Zeta: ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่เข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะผ่านความสัมพันธ์กับจำนวนเฉพาะโดยใช้สูตรผลคูณของ Euler
• Gaussian Multiplicative Chaos: กรอบทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายความสุ่มที่มีการผันผวนสูงและไม่แปรเปลี่ยนตามมาตราส่วน ซึ่งพบในระบบปั่นป่วน ควอนตัมแรงโน้มถ่วง และตลาดการเงิน
• ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ: ระบุว่าความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะใกล้กับจำนวนขนาดใหญ่ x มีค่าประมาณ 1/log(x)
• เกลียว Ulam: การแสดงผลเชิงกราฟิกของจำนวนเฉพาะที่เผยให้เห็นรูปแบบเส้นทแยงมุมที่ไม่คาดคิด

ผลกระทบในทางปฏิบัติและความกังวลด้านการเข้ารหัส

โดยธรรมชาติแล้ว การอภิปรายได้หันไปสู่การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการเข้ารหัสลับซึ่งจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่มีความสำคัญต่อความปลอดภัย ผู้เชี่ยวชาญในชุมชนได้ชี้แจงอย่างรวดเร็วว่าความก้าวหน้าทางทฤษฎีเหล่านี้ไม่构成ภัยคุกคามต่อระบบการเข้ารหัสในปัจจุบัน รูปแบบที่กำลังถูกค้นพบนี้อธิบายพฤติกรรมทางสถิติของกลุ่มจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ มากกว่าที่จะให้อัลกอริทึมเพื่อแยกตัวประกอบตัวเลขเฉพาะเจาะจงได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น

ตามที่ผู้แสดงความคิดเห็นหนึ่งอธิบาย คุณสามารถสมมติว่าข้อสันนิษฐานใดๆ เกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะเป็นจริงได้เมื่อพยายามแยกตัวประกอบตัวเลขขนาดใหญ่ เนื่องจากเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคำตอบของคุณถูกต้องหรือไม่ ความยากพื้นฐานในการแยกตัวประกอบกึ่งจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงโดยข้อมูลเชิงลึกทางสถิตินี้เกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ

อย่างไรก็ตาม การวิจัยนี้ให้ความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับว่าจำนวนเฉพาะโดยทั่วไปมีลักษณะอย่างไรและพวกมันกระจายตัวอย่างไร สิ่งนี้อาจในที่สุดจะช่วย通知อัลกอริทึมที่ดีขึ้นสำหรับการสร้างจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ หรือให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับธรรมชาติพื้นฐานของความสุ่มทางคณิตศาสตร์

การอภิปรายเชิงปรัชญา: ลัทธิกำหนดนิยม เทียบกับ ความสุ่ม

ชุมชนมีส่วนร่วมอย่างลึกซึ้งกับความหมายเชิงปรัชญาของการค้นพบเหล่านี้ ข้อเปรียบเทียบของ Maksym Radziwill นักคณิตศาสตร์จาก Northwestern University เกิดการสะท้อนอย่างมาก: ถ้าฉันมีตัวสร้างตัวเลขสุ่มบนคอมพิวเตอร์ มันไม่สุ่มสำหรับฉัน แต่ถ้าคุณไม่รู้ว่ามันทำงานอย่างไร มันก็สุ่มสำหรับคุณ สิ่งนี้จับได้ถึงความตึงเครียดที่สำคัญในการวิจัยจำนวนเฉพาะ — จำนวนเฉพาะสุ่มอย่างแท้จริงหรือไม่ หรือพวกมันทำตามรูปแบบเชิงกำหนดที่ซับซ้อนอย่างสูงซึ่งเรายังค้นไม่พบ?

คำถามนี้สะท้อนให้เห็นถึงประเด็นพื้นฐานในฟิสิกส์ ซึ่งกฎเชิงกำหนดสามารถสร้างพฤติกรรมที่ดูเหมือนสุ่มในระบบที่ซับซ้อน จำนวนเฉพาะอาจกำลังทำตามกฎที่ซ่อนเร้นบางอย่างที่ซับซ้อนซึ่งสร้างสิ่งที่ดูเหมือนความสุ่มจากมุมมองที่จำกัดของเรา การค้นพบรูปแบบแฟร็กทัลชี้ให้เห็นว่าอาจมีระเบียบพื้นฐานอยู่ แม้ว่าเรายังไม่สามารถถอดรหัสมันได้อย่างเต็มที่

การอภิปรายยังกล่าวถึงว่าทำไมจำนวนเฉพาะจึงทำให้นักคณิตศาสตร์หลงใหลอย่างลึกซึ้ง ดังที่ผู้แสดงความคิดเห็นหนึ่งระบุ จำนวนเฉพาะแสดงถึงองค์ประกอบพื้นฐานของการคูณของคณิตศาสตร์ — องค์ประกอบพื้นฐานที่จำนวนเต็มอื่นๆ ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นมา การศึกษาพวกมันไม่ใช่การหมกมุ่นตามใจ แต่เป็นการตรวจสอบองค์ประกอบพื้นฐานที่สุดของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

งานวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่เกี่ยวกับรูปแบบจำนวนเฉพาะยังคงเชื่อมโยงสาขาวิชาต่างๆ ต่อไป โดยเชื่อมโยงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์กับฟิสิกส์ วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ และแม้แต่ชีววิทยาผ่านภาษาสากลของรูปแบบและโครงสร้าง ในขณะที่สมมติฐานของรีมันน์ยังคงไม่ได้รับการพิสูจน์ แต่การค้นพบใหม่แต่ละครั้งก็นำเราเข้าใกล้ความเข้าใจในระเบียบอันลึกซึ้ง ซึ่งอาจเป็นแบบแฟร็กทัล ที่อยู่ภายใต้สิ่งที่ดูเหมือนว่าความวุ่นวายทางคณิตศาสตร์

อ้างอิง: Prime Numbers Show Unexpected Patterns of Fractal Chaos